文/山里人

众所周知，“乘法口诀”是古往今来人们在计算中进行乘法、除法、开方等运算的基本规则，中国从春秋战国时期至今已沿用有三千多年历史了。古时的“乘法口诀”，是从上而下，从“九九八十一”开始，至“一一如一”止，与现在使用的顺序恰恰相反，并且完全是中文字，读来又朗朗上口。因此，古人用“乘法口诀”开始的两个字“九九”作为此口诀的名称，所以古时称“九九表”“九九歌”“九因歌”“九九乘法表”。

在里耶秦简中，有3枚保存十分完整清晰的“乘法口诀”，据考古专家称，它是目前全世界发现最早的乘法口诀表实物，足可改写世界数学历史。出土的里耶秦简“乘法口诀”，详细纪录了“乘法口诀”是从“九九八十一”开始到“二半而一”结束。“乘法口诀”一般只用一到九这9个数字，它包含乘法的可交换性，因此，也只需要比如“八九七十二”，不需要“九八七十二”，9乘9有81组积，“乘法口诀”只需要1+2+3+4+5+6+7+8+9=45项积，但古时也有采用81组积“乘法口诀”。因而45项的“乘法口诀”称为“小九九”，81项的“乘法口诀”称为“大九九”。

里耶秦简“乘法口诀”从“九九八十一”到“二半而一”，是为38项。为什么里耶秦简“乘法口诀”只有38项，更为简洁呢？是因为在那个时代，人们已众所共知一乘任何数都等于任何数，除了“一二而二”为代表列入表内，从“一乘三”到“一乘九”7项都未列入。同时，“一乘一”也未列入，而表中出现了“二半而一”，就是2×½=1代替“一乘一”了。这样，里耶秦简“乘法口诀”中的38项再加未列入的7项，不也就是45项。因此，里耶秦简“乘法口诀”也就是人们俗称的“小九九”。同时，“二半而一”又见证了中国古代对分数的最早应用。

在世界古代历史上，像古玛雅“乘法口诀”最短需要190项，古巴比伦“乘法口诀”则需要1770项，古埃及、希腊、罗马、印度等国的“乘法口诀”须无穷多项，而里耶秦简“乘法口诀”只需38项，可谓简单明了，更便于记忆。关于“乘法口诀”，还有一则小故事。春秋战国时期，齐桓公想做霸主，便发出告示招贤纳士。有天，一位书生模样的人来应招，就将“九九八十一……六六三十六……二二而四”的“乘法口诀”背了一通，在场的大臣们都觉得好笑。齐桓公也笑着说：此等技能，我们这里连小孩子都会。应招人对答：假若您连我这个能背诵“乘法口诀”的人都重视了，那么就会有更多的贤士来到您身边啊！由此可见，二千六百年前的齐桓公时期，“乘法口诀”都是常用了。到了秦始皇统一中国，里耶秦简“乘法口诀”已成了当时的数学教材，非常流行。

春秋战国时代不仅发明了“乘法口诀”，还发明了“十进位制”。“乘法口诀”和“十进位制”的应用，使乘法、除法、开方等数学运算更简单、方便、快捷了。这两项发明后来东传入高丽、日本；经过丝绸之路西传印度、波斯，继而流行全世界。“乘法口诀”和“十进位制”是古代中国对世界文化的一项重要贡献。在文明古国的希腊、埃及、印度、罗马时代没有“进位制”，原则上需要无限大的乘法表，因此，更不可能有“乘法口诀”了。

比如希腊乘法口诀，必须列出9×8、90×8、900×8、9000×8……相形之下，由于“九九表”基于“十进位制”，9×8=72、90×8=720、900×8=7200、9000×8=72000……只需要9×8=72一项代表。在古埃及没有乘法表，考古学家发现古埃及人是通过累次迭加来计算乘积的。例如计算5×18，先将18+18=36，再迭加36+36=72，然后再加上18得90。

在距今约三千多年前“两河流域”的古巴比伦，算术虽有进位制，不过采用的是60进位制，原则上一个“59×59”乘法表需要59×60÷2=1770项，太过于庞大，因而，考古学家也从来没发现类似于“乘法口诀”的“59×59”乘法表。不过，考古学家发现巴比伦人用独特的1×1=1、2×2=4、3×3=9……9×9=81……35×35=1225……59×59=3481的平方表。假若要计算两个数a、b的乘积，巴比伦人则依靠他们最擅长的代数学，a×b=((a+b)×(a+b)-a×a-b×b)÷2。例如8×9=((8+9)×(8+9)-8×8-9×9)÷2=(289-64-81)÷2=144÷2=72。古玛雅人发明过20进位制，与现代世界通用的中国古人发明的十进位制最接近。一个19×19“乘法口诀”也要有190项，比里耶秦简“乘法口诀”的38项也要大五倍，但比巴比伦方法还是简便不少。可是，考古学家至今还没有发现任何玛雅“乘法口诀”。如此看来，比起同一时期的里耶秦简“乘法口诀”简单、便捷来，西方文明古国因没有“乘法口诀”和十进位制，乘法、除法运算就繁琐复杂得多。

由于在十三世纪之前，西方国家的人运算乘法、除法十分辛苦，所以能够乘、除一个大数的人，在当时的西方国家被人们视若数学专家。而在同一时代二千多年前的中国，一个十来岁的孩童就可以完成。三千多年来，中国人从小就开始背诵的“乘法口诀”，在常人看来并不值得重视，人们还常常把心思多比喻成“小九九”。然而从历史角度看，甚至放眼未来，中国古人发明的“乘法口诀”的历史意义，很可能比“四大发明”更加伟大！“乘法口诀”十三世纪才传入西方国家，而且还是大学级别的学术部门才能学到。

在此之前西方国家的乘法、除法极为繁琐复杂，熟练掌握者皆称专家或大师，而在中国不过是未成年人的技能。在二千多年潜移默化中，这一伟大发明赋予几乎所有中国人出色的基础计算能力，令中国人在世界范围内具有先天优势。据媒体报道，英国成年人的数学水平很低，有人认为，他们一旦离开计算器，则连简单的乘除法都没法做出来。2015年英国人决定在小学推广“乘法口诀”，因发音颇为绕口而“水土不服”，困难种种。以“三七二十一”为例，中文发音有节奏且易记，而英文“three seven twenty-one”就绕口绕舌难记。不仅是英国，法国、德国等许多欧洲国家都一样，究其原因乃是中国汉语发音和构词的先天优势造成了中国人在数学基础教育上的领先，且语法、发音以及早期数字表达方式不同，造成欧洲人数学思维与中国人截然不同。不过，据说英国教育部门颇有决心，再困难也要将其推广，他们在《一课一练》英国版中，可能改为“12×12乘法表”，从而扭转导致基础数学计算长期不利的局面。